「.——-你看，這樣就是一個橢圓曲線了。不過不是一般的圓錐曲線中的橢圓，而是域上虧格為1的光滑射影曲線。如果特徵不等於2的話，那麽仿射方程就是y^2=~3+a^2+b+c。

那個BSD猜想的前置條件你肯定還記得吧？複數域上的橢圓曲線為虧格為1的黎曼麵，整體域上的橢圓曲線是有限生成交換群。阿貝爾簇是橢圓曲線的高維推廣。

所以這個時候我感覺就要把橢圓曲線化成魏爾斯特拉斯形式。這是我看了很多相關理論之後才找到的方法。這種變形就屬於很機械的操作，前提條件是方程至少存在一個有理數點。

但顯然這一步是成立的，之前我們已經證明了，所以我們就能得到這兩個公

喬喻一邊說，一邊在小桌板上用筆寫著。

蘭傑則認真聽著，脖子脖子伸得老長，去看喬喻的整體解題過程，以及隨手用座標係畫出的平麵圖。

「」.———-很顯然，我們現在得到了一條有著兩個實部的經典橢圓曲線。右邊的線，明顯是連續延伸至正負無窮，左邊的封閉橢圓曲線就是求解的關鍵了，給定這個方程任意解，都可以用等式還原我們要求的數值。」

「這一步最關鍵的地方就在於三元組（a：b：c）必須是投影曲線，這才可以隨便乘什麽常數，都能讓方程成立。接下來就要用到雙向有理等價了，我就直接在這個橢圓曲線上找一個最方便求解的有理數點，再帶入原方程，就能求出解o

其實到了這一步就簡單了，橢圓曲線理論中，弦切技巧是生成新的有理數點的關鍵工具嘛。隻要在橢圓曲線上找到兩個已知的有理數點:P1跟P2，就能透過加法生成新的有理數點。

接下來就是直接在構造切線了，這個時候就自然形成了一個阿貝爾群，我們要引l入0這個群中的零元，根據規則，任何一個點P跟0相加時結果依然是P。

——--我們再透過作P點的切線，找到P跟曲線再次相交的點，然後再計算，如果得不到整數解，就繼續用連線P和2P找到與曲線的第三個交點再與0點相連找到第四個交點，不行就重複這個步驟找第五個交點·

總之就是重複這個步驟，一直到找到對應的整數解為止。不過這一步靠手算肯定不行了，隻能用電腦來算，找到那個值後，再用幾何程式進行疊代。

最後計算9P才是整數，然後就是用得到的9P的值，做9次幾何程式選代，最後就能得出上述這個方程a，b，c的值了。整個解題思路就是這樣。」』

喬喻一口氣講了整整一個小時，隻覺得口乾舌燥，講完之後，直接拿出插在前麵座椅背上的礦泉水，狠狠地灌了幾口。才開問道：「咋樣，蘭老師，你覺得我這種解法有普適性嗎？」

蘭傑回過神來，看了一眼喬喻，沒有第一時間回答。

畢竟要判斷出這種解法有沒有普適性，首先他得完全理解這種解法。

讓喬喻講解，是因為他本以為喬喻在解這個方程時，不會用到太過複雜的數論方麵內容。畢竟喬喻給他的印象一直是有天賦，但並沒有針對數學係統的學習過。

而他不一樣，大學時候也是係統學過抽象代數，數論入門這些課程的，不至於聽不懂。

但顯然他錯了。

聽喬喻講解的時，他甚至回想起大學那段青蔥羅月，被高階代數幾何所支配的恐懼。

什麽射影幾何，模空間是真的讓人很頭大。他拚了命學最後也隻是勉強過關，拿到了學分。當然班上也有很多厲害的同學，隨隨便便學學就能拿滿分的。

這也是他研究生階段選擇組合數學，畢業之後回到星城當了個高中數學老師的原因。

真不是他不想做科研，繼續讀博士，然後爭取能在高校當老師。

主要還是能力有限，真讀不動了。

所以他是真沒完全聽懂喬喻求解這個方程的思路。

眾所周知，如果要判斷數學上某個求解方法對一類方程是否具備普適性，首先得完全理解整個求解思路。

這就很尷尬了。

本以為憑藉他在大學積累的數學知識，聽完喬喻現場講解之後，肯定能給出一個答案的。

但現在他需要在丟人跟想辦法掩飾之間做出一個選擇。

大概沉吟了十秒鐘後，蘭傑選擇了坦誠。

因為他是真不太會裝。

「喬喻，說實話，我的水平不夠，沒法判斷-———-所以這個問題你隻能自己去嘗試了。找幾個同類的方程，用你這種方法去求解，如果最後都能得出正確答案的話，就可以動筆寫論文了。

論文具體怎麽解決問題，我沒辦法幫你。但我可以教你論文具體該怎麽寫。

畢竟數學論文的撰寫是有著特定的格式跟行文要求的，也有一些常見的通用標準。」

喬喻異的看了眼蘭傑。

因為這道題的確很難，可以說是他認真學習數學以來遇到過的最難的一道方程求解題，所以講的時候多少存了點炫耀的心思，是真講的挺仔細。

但老好人竟然說他沒聽懂？

「呼———-我說過的，我大學沒怎麽在代數幾何丶數論這塊下功夫。如果隻是初階的還行，也就是隻有本科時候學過的內容。更深的數論-—----我碩士階段主攻的是組合數學，就是研究離散結構的組合性質，排列丶組合丶圖丶集丶序列那一類的問題————·

而且參加工作後，高中數學你懂的---至於奧賽中關於這方麵的內容，也不會涉及的很深入，隻會涉及高等代數跟數論最基礎的一部分東西。主要培養的還是一個用初級數學方法，來解決問題的能力。所以————」」

迎著喬喻探尋的自光，蘭傑有些結巴的解釋著。

好吧，這的確是挽尊。

畢竟數學這門學科，也分了無數個方向-—----而數論顯然是最需要天賦的那個方向。

不懂其實很正常。

關鍵是喬喻的年紀跟經曆太傷人了。

「哦，這樣啊-----我懂的，這屬於術業有專攻，這些東西恰好不是您擅長的那個方向。」喬喻很體貼的說道，甚至再次用上了敬稱了。

蘭傑張了張嘴，但卻沒說什麽。

這孩子已經夠給麵子了，再多說，就顯得很像狡辯了，沒什麽意思。都承認不懂了，不如更坦然一點。

於是蘭傑抬手拍了拍喬喻的肩膀，說道：「彆急，相信我，未來肯定有一天，那個論壇上的大佬-->>