第103章 少年得意，揮斥方道

第一天的講座結束了。

在給出了最新的成果之後，羅伯特·格林開始講解他跟團隊的研究過程。

對於來聽講座的教授跟博士生們來說，研究過程顯然比結論更為重要，這才是真正的乾貨。涉及到一係列數學工具的使用，這些使用方法往往能給大家的研究提供思路。數學方麵交流的也正是這種思想。

數學工具本身是中立的和廣泛應用的，不同的研究人員可能會在其特定的領域中通過獨特的方式運用這些工具，創造出新的思路和方法。雖然這一過程中沒有新的數學工具誕生，但實際上能做到這一點，已經是相當優秀的數學家了。

至於動不動就創造數學工具的人，比如搞出微積分的艾薩克·牛頓，做出博弈論的約翰·馮·諾依曼，創造希爾伯特空間的大衛·希爾伯特，以及黎，高斯..還活著的諸如愛德華·威騰，

這些人在數學界的地位，大概就跟玄幻小說中各大宗門的老祖沒什麽區彆。

彼得·舒爾茨之所以被西方數學大佬們交口稱讚，並被譽為年輕一代最偉大的數學家，也正因為他的工作開辟了一係列的新數學工具跟方法。也就是他現在還年輕，幾十年後，大概率也是後人眼中的開派宗師。

如果他真能在有生之年，解決朗蘭茲綱領的一係列問題，那他的地位說超越牛頓丶希爾伯特丶高斯丶格羅滕迪克這些前輩，可能會有爭議，但比肩卻是毫無疑問的。聽過講座之後，彆人有沒有收獲，喬喻不知道，但他還的確挺有收獲的。

收獲主要是對Chabauty方法的理解更深刻了。這位羅伯特教授搞出了一種局部修正技巧，推進了Chabauty的應用，具體就是利用Padé近似和局部高度理論，可以更精確地控製曲線上不同位置有理點的分布。

另一個就是通過求解在p—adic範圍內的齊次不定方程，並利用p—adic分析中的局部幾何信息來限製可能存在的有理點。特彆適用於虧格稍低但依然具有複雜幾何結構的曲線。類似的技巧，喬喻在寫他那篇論文時，也用到過。但顯然沒有這位教授跟他的團隊搞出的方法那麽絲滑。

總之聽過了講座之後，他還挺感激收錄他論文的期刊的。果然跟人家比起來，他用到的那些方法，都還挺LOW的。

唯一的亮點大概就是他在求解的時候把經典的橢圓曲線下行法作了些小小的改進。當然這個亮點他本來是不知道的，還是薛鬆告訴他的。

今天的講座沒有提問環節，據說是更具體的交流提問環節，都放到了第三天講座上。

不過講座結束後，台上的羅伯特教授還是被前排幾個教授圍住了。顯然大家並不滿足於最後一天的交流，喬喻本來也想上去湊湊熱鬨，跟大家混個臉熟來著，尤其是還能跟田導套套近乎，卻被薛鬆叫住：「走了，我們還忙。」

「啊？忙什麽？」喬喻有些疑惑，然後看了眼不遠處的田導，可惜田導沒看他。

「下午臨時召開的討論會難道你就拿著這份手稿去？中午要把你這手稿重新編輯一下，錄進電腦，然後列印起碼十份出來。你還覺得很閒？中午不吃飯了？

再說你還要想想去怎麽跟參與討論的教授們解釋你的想法。下午的討論會四十五分鐘，你起碼要說上半小時。現在都去聊完了，下午怎麽辦？」薛鬆忙著提點身邊這個十多歲的少年。心裡快羨慕炸了。

這也就是田言真了。

換了個導師就算想這麽捧自己的學生，大概率也沒這個魄力，就算有這個魄力，也沒這個資源。一場四十五分鐘的研討會可不說辦就能辦的，首先得讓大家能給那個麵子來參加。

比如換了他來召集這次研討會，剛跟人家大教授說，這次研討會的內容是討論我十五歲的學生一點數學上的想法，雖然他提出的東西還沒能被證明，也挺不成熟的，但我覺得很有意思。

人家不說直接一腳直接把他蹄出門，大概也會客客氣氣的把他請出去，然後直接拉進黑名單，以後老死不相往來，但老田就不一樣了，哪怕心裡有腹誹，但大概率也會笑著答應。

甚至有些人還會覺得收到邀請是一種榮幸。哎.

隻能說人的地位不同，境界不同，決策也會完全不一樣。沒什麽格局不格局的，無非是掌握的資源越多，越無需太顧及他人的看法，尤其是在做並不違背任何原則的事情時。人與人之間如此，國與國之間也一樣。

比如華夏如果突然蹦出20多個航母戰鬥群，五代戰鬥機丶轟炸機數千架，然後對全世界說一句今年春節大家一定要一起看聯歡晚會，尤其是住村西頭的富朋友們，趕緊來買轉播權。保證就算晚會拍成了一坨，那收視率也能「唰」一下就衝上去，真正的前無古人，後無來者。

喬喻倒沒想這麽多，就覺得老薛說的很有道理。

於是也不想著湊熱鬨了，跟著老薛老老實實回到自己的房間，打開電腦上忙碌起來。「你中午想吃什麽？我去給你把飯打回來吧。」看到喬喻開始乾活，薛鬆問了句。越來越感覺自己像個保姆了，不過還好，再過兩天他帶的博士生就會來學校了。「嗯，隨便打份盒飯就行，我不挑食的，對了，肉多一點。」喬喻說道。

「那給你加兩個雞腿？」「好呀！」

薛鬆撒了撒嘴，然後走了，沒一會，房間門被敲響，喬喻頭也沒抬的說了句：「請進。」門被推開田言真走了進來，喬喻百忙之中扭頭看了眼，連忙叫道：「田導。」

「嗯，在做準備呢？」「是啊！」 「我來看看。」 「您坐。」

「這裡改一下，在你沒有完成證明的時候，措辭要更嚴謹，改成，根據幾何直覺，可以推測存在一個依賴於曲線X的幾何和算術性質的常數C，使得曲線上有理點的個數N（X）≤C。」「哦。「

「還有這裡，你的描述是同調範疇QH（Cp）是一個增強的同調範....這裡並沒有強調出其跟一般意義上的同調範疇區彆，我仔細思考了你的想法。

如果要更好的分析曲線在p—進完備空間中的局部同調行為，你可以引入一個量子化同調範疇，如果在同調層麵引入量子化的特徵，也許能捕捉到幾何結構中細微的局部變化？」

「啊？量子化？但這跟量子物理沒關係吧？」

「我是說數學的量子化。在拓撲和代數幾何這些領域，量子化是指代離散化或將經典結構提升到更複雜的結構的過程，這一過程通常是非交換的。」田言真看到喬喻還不太明白的樣子，拿起了桌上的紙跟筆，說道：「時間不多，我以辛幾何中的幾何量子化為例給你講解一下。

首先我們要在相空間中選擇一個極化，你可以理解為經典相空間中確定一個方向，或者坐標，來簡化問題複雜性。選擇極化可以看作選擇一種分解，使得一部分坐標被用來描述量子態，而動量則變為微分算子作用於這些量子態上。

然後，通過極化條件來構造一個希爾伯特空間，該空間可以看作是經典相空間的某種函數空間。這個函數空間包含了所有可能的量子態也就是波函數，其結構依賴於經典相空間的辛結構和極化選擇的結果。」

田言真一邊說著，筆下已經開始寫出了一個具體的例子。

「你看，假如一個單個諧振子的相空間由位置q和動量p組成，形成一個平麵（q，p）。辛形式可以寫為w=dq^dp。我們現在要將這個平麵量子化到一個希爾伯特空間，首先選擇極化為д/др=..

喬喻靜靜的聽著導師的講解，不懂的地方就開口提問，就這樣十分鐘後，他突然又開竅了。

「哦，我明白了，我的Q可以代表量子化不變量，等等，讓我想想，我需要一個量子化同調範疇，來分解曲線的同調群，就能通過量子化處理，解釋曲線上有理點在局部量子結構中的行為，對吧？田導？」

「嗯.」

「對對對，就是這樣的，筆給我用用，嗯，在一個量子化同調範疇....」說著喬喻從田導手中直接把筆抽出，讓飛快的在稿紙上把他昨晚琢磨的第一個公式補充完整。田言真看著喬喻寫下的這一串公式，麵色不變的說道：「證明過程呢？」

「首先Q已經確定是作用在曲線同調群的量子算符了嘛，然後第一步就是構建一個量子同調範疇，首先對H進行分解，構建新的量子態，然後用量子態維數描述曲線同調性。第二步就是找到量子化同調群與有理點的關係，這裡就很明顯了，同調群的維數直接與曲線的虧格g相關。虧格越大，意味著曲線的幾何複雜性越高，有理點的個數相對較少。這個時候把Q加進去，就能到dimQH1（Cp）=f（g，Q），這是為了讓局部幾何結構的變化更加敏感，進一步限製了有理點的個數。

然後通過Jacobian對有理點進行限製，這是今天講座上那位羅伯特教授用到的方法，我們可以改一下，放進完備空間裡。按照之前的研究Jacobian的階次越高，意味著曲線上可分配的有理點數量可能更少。

最後再把這個函數構建出來就行了。函數右邊前半部分是量子化後的同調群維數，它取決於曲線的虧格g和量子算符Q，後半部分反映了曲線的幾何結構和有理點的限製。您真是太厲害了田導，隨便指點我幾句，就讓我邁出了證明有這個常數C的一大步！」

喬喻由衷的感謝了句。

田言真則看著喬喻在稿紙上飛快寫下的證明過程沉默不語。他能感覺到心跳正在加速。

「砰砰砰...」像正在被敲打的戰鼓一般。

這是什麽領悟速度？他本以為光給喬喻簡單講解量子化起碼需要半個小時，因為這其中牽扯到很多複雜的數學概念，很多概念他都不確定喬喻是否接觸過。

畢竟喬喻並沒有接受過係統化的數學教育，但他講著，講著，這家夥突然就把昨天一個粗淺的想法給明確到這種地步了？而且看過程，似乎沒有錯，還挺嚴謹。不是沒問題，但對於十五歲的孩子來說，他真沒法要求更多了！

「你之前接觸過辛幾何？」壓下心頭激動的情緒，田言真用儘可能穩定的語氣問了句。

「沒有啊。」喬喻搖了搖頭。

「專門學過量子物理？」田言真又追問道。

「沒有啊，就是知道一點點，比如波函數什麽的，以及微觀世界沒有確定隻有概率這些。沒有專門研究過，就是看過一些科普，了解波粒二象性之類的。」喬喻再次搖了搖頭。「那你懂了？」

「懂了啊，原理就是讓曲線包含量子變量或者說量子結構來進行微操嘛，拓展其可操作性嘛。您都講的那麽清楚了，要是還不懂的，那不是很蠢？」說完喬喻突然感覺有點不對，反應了過來，小心翼翼的問道：「啊..難道我推的過程不對？」

田言真深吸了口氣，搖了搖頭，突然覺得他原本一些之前看來挺聰明的學生，現在看來的確是有些蠢了。下午研討會的稿件裡，跟大家一起分析。」

喬喻連忙點了點頭，說道：「明白了，田導。」

兩人正說著，房門突然被推開，薛教授提著兩盒飯出現在了門口。「喬.額，田先生，您也來了？」

「嗯，中午我拜托幾位校領導陪羅伯特教授去吃飯了，我考慮著喬喻這孩子第一次開研討會，給他來講解一些東西。」「哦，您也還沒吃飯吧？要不你們先吃？」

田言真猶豫了一下，然後點了點頭，說道：「好，那我就在這裡吃吧。你也彆來回跑了，我給小李發個消息，讓他給你帶一份回來。」本來他沒打算在這兒吃飯的。

但沒辦法，教喬喻這樣的學生，真的很容易上痛，因為特彆容易收獲成就感。

尤其是這孩子數學方麵的基礎知識簡直像一副混雜的抽象畫，但卻能在這抽象中找到自己的脈絡，這天賦大概不比彼得·舒爾茨差。田言真相信，不管誰有這樣的學生，大概都不介意多交流一會。

「不用那麽麻煩了，正好我騎個車去食堂吃了再過來。」

「那也行吧，你吃完了趕緊回來，幫喬喻把他的東西整理一下，錄進電腦，我正好提前給喬喻講些東西。」田言真點了點頭，說道。

薛鬆心情複雜的點了點頭，答道：「行。我儘快。」說完立刻轉身離去，田言真則打開盒飯說道：「趕緊把飯吃完，你還有幾個命題，我跟你簡單講講。」「好的，田導。」

很多時候打心眼裡喜歡一個人其實表現都是差不多的。t.

「.如果設X是虧格g的代數曲線，其模空間Mg就參數化了所有虧格為g的曲線，並進行幾何約束...」「但你想過沒有，這樣又會多出一個需要跟模形式同調群性質相關的指數，大大增加了結果的複雜度。」「那田導，您覺得這塊該怎麽處理呢？」

「我覺得不如直接引入舒爾茨的p—進Hodge理論，通過分析曲線在p—進數域Qp上的行為，得到更進一步的幾何約束。」

「您的意思是把局部性質的全局化？但局部信息通常與特定的質數p相關聯，而不同的質數可能導致不同的局部行為，這更困難吧？」

「但這是你提出來的，所以就需要你來思考了。不過據我所知，p—進幾何中，可以用etale同調群描述代數曲線的局部性質。而且就像你剛才說的，完備性條件已經確保我們能夠從局部幾何結構推導出全局結果，所以這條路肯定是可行的。」

「哦，那這塊我要再好好想想了..但還是要引入一個常數吧？」

」的確要好好想，想仔細。喬喻，你要記得，數學證明任何一個數學猜想，對數學家的學術水平而言最大的收獲是證明方法，而不是單純的結果...隨便吃了頓快餐的薛鬆，接替了喬喻開始做錄入的工作，耳邊師徒倆的討論跟指點則不停地鑽入他的耳中。

心情又變得更複雜了。

羨慕喬喻能得到一位大佬級院士如此悉心的指點，這是真嫡係關門弟子的待遇啊，還是特彆寵愛的那種。彆說院士導師了，就是一般的導師指點學生的時候都不太可能如此用心跟投入。

給有具體行政職務的大佬當過研究生的人都知道，大佬們基本不會PUA學生，但也基本不會關心你的論文丶你的學業丶以及你是否能畢業，甚至畢業的時候他都不一定記得還有你這麽個學生..

平時負責帶人的隻有一個小導，當然小導的負責程度則因人而異，於是大佬帶出的碩士水平也有著極大參差。而喬喻正享受著院士導師哪怕中午隻吃頓盒飯，都要抽時間輔導的特彆待遇。

當然，薛鬆也很明白，這得歸功於喬喻能接得住這份特彆待遇。探討，探討，得有來有往才能討論得起來。

院士導師指點幾句，結果學生像個傻子一樣，一副不明覺厲的樣子，根本不知道怎麽接，那必然就沒下一次了。顯然，喬喻接住了這待遇，然後他真就成打雜的了。

好吧，起碼我還是小導！

田言真是下午一點半離開的，其實他還有些基本的理論跟數學方麵的原則想要一股腦告訴喬喻，但沒辦法，沒時間多聊了，他還有事要忙。下午是他親學生第一次研討會，組織工作交給彆人去辦，多少還是有點不放心。

田言真走後，喬喻也乖巧的接過了薛鬆的-->>